■パソコンの処理時間を改善するには
解析君は、インターネット経由によるデータのダウンロード時間の短縮を検討しています。現在所有しているA社のパソコンで同一のデータを5回ダウンロードし、それにかかった処理時間を測定してみました。
処理時間を見ると、最短160秒で最長170秒、平均165.2秒でした。この時間値の差は、回線の混雑度やプロバイザーの利用状況など、使用環境によるものが考えられます。
次に、パソコンを通信処理速度の高いＢ社製に変えて、同じデータをダウンロードしてみました。
処理時間は最短153秒、最長169秒、平均160.4秒で、A社製より平均処理時間は4.8秒（165.2-160.4）短縮しました。しかし、B社製でも5回の処理時間には差が見られます。
この結果をみて、解析君は悩んでいます。通信処理速度の高いB社製に変えると、平均処理時間は4.8秒短縮できるが、使用環境によっては169秒かかることもあるので、現状の最長時間170秒と大差がない。パソコンを変えるべきなのか、使用環境を変えるべきなのか？
この意思決定を行うためには、「処理時間の差をパソコンによる違いと使用環境による違いに分ける必要がある」と考えた解析君は、データ解析の研究を開始しました。
■目標値からの差を2乗する
解析君は、ダウンロード時間を150秒まで短縮したいと考えています。
そこで現状の処理時間と目標処理時間(150秒)の差を計算しました。
A社の1回目は、166秒−150秒＝16秒となります。このようなある値（目標値、最大値、最小値や平均値）と測定値との差を偏差と呼びます。
解析君がまず考えたことは、全体で目標値からどれだけの差があるかです。目標値150秒からの全体の偏りは、偏差の平均により求められます。これを y バーとすると目標値の150秒に対して全体では12.8秒の差があることが分かります。
ここで解析君は、偏差の平均である y バーは10個の偏差の共通データなので、各偏差からこの共通データ( y バー)を分ければ、各偏差の固有データが発見できるのではないかと考えました。
目標値からの偏差は2行5列のデータです。この偏差をyij(iは行、jは列）で表すと、10個の偏差はy11〜y25となります。例えばA社の一回目の偏差16は、y11で表せます。
この偏差を全体の偏り(y バー)とそれ以外の固有偏差に分けると以下の式で表せます。
16 = 12.8 + 3.2 … (2)
10個の偏差を全体の偏り(y バー)とそれ以外の固有偏差に分けた結果が以下の表です。
ここでそれ以外の偏差(yij-yバー)は、一つ一つの違いを表し個体差とも呼ばれています。この場合の個体差は、パソコンの処理能力やダウンロード時における使用環境の違いなどによるものです。
解析君は10個の偏差を合計してあることを発見しました。偏差を合計した行に着目してください。個体差は全体の偏りからの差なので、合計すると0になり、パソコンや使用環境の違いによる偏差が消えてしまいます。
そこで考えられたのが偏差を2乗するという考え方で、偏差の2乗を変動と呼びます。上表の左辺(yij)の2乗の合計は、目標値からの偏差の2乗和であり、全変動といい記号STで表します。
実際に計算すると、次のようになります。
全変動(ST)=16×16+20×20+18×18+12×12+10×10+8×8+12×12+19×19+10×10+3×3=1902 (f=10)…(3)
この全変動(ST)1902は、10個の2乗データの合計です。変動の計算における2乗の個数を自由度と呼び、記号fで表します。
上表の右辺第1項は、全体の偏りですから2乗の合計は偏りの大きさの総量となります。取上げているデータの平均の大きさですから一般平均の変動といい、記号ではSmで表します。
一般平均の変動は、合計の2乗をデータ数で割って求めるので、2乗の数は1なので自由度は1となります。
次に上表の右辺第2項の2乗の合計は、個体差の2乗和で誤差変動といい、記号ではSeで表します。
(3)、(4)、(5)式の結果より、(6)式になっていることがわかります。
St = Sm + Se …(6)
1902 = 1638.4 + 263.6
(6)式を文章でかけば、次のようになります。
全変動 = (一般平均の変動) + (誤差変動)
ST = Sm + Se
このように、データを2乗することにより、データは平均値の2乗の集まり(一般平均の変動：Sm)と平均値からの偏差の2乗和(誤差変動：Se)に分解することができます。
